Assalamualaikum, Sobattt.....

Hmmm… Pagi ini gua mau nge-post sebuah materi yang mungkin bakalan bermanfaat buat kalian. Karena sekarang gua udah masuk ke semester II, gua ternyata dapet Mata Kuliah yang lumayan bikin kepala gua muter-muter… tapi asyiiikkk heheheh… :). Materi ini berhubungan dengan Mata Kuliah “Matematika Diskret”, Yang masuk jurusan IT pasti akan mendapatkan Matkul ini…
Sebenernya ini tugas Matkul gua buat Upload Materi Matematika Diskrit ini hehehehe...:) Langsung aja ke Pembahasan Pertama, apa sih Himpunan itu, Jenis Himpunan, Operasi Himpunan, Prinsip Dualitas, dan yang terakhir Relasi dan Sifat Relasi Biner.



Teori Himpunan

Himpunan adalah koleksi objek yang terdefinisi dengan jelas; artinya, kita selalu dapat menentukan apakah sebuah objek termasuk dalam koleksi atau tidak.
Nama himpunan ditulis dengan menggunakan huruf besar
A,B,H, S, U
sedangkan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil
a, b, h, s, u

Contoh  Beberapa contoh himpunan.
1. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 100.
2. B adalah himpunan huruf vokal dalam abjad bahasa Indonesia.
3. C adalah himpunan kuadrat bilangan asli.
4. K adalah himpunan mahasiswa yang memiliki IPK lebih dari 3.
5. M adalah himpunan mahasiswa Tadris Matematika IAIN Syekh Nurjati.

Jenis Himpunan

• Himpunan Semesta
Himpunan semesta itu adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Biasanya Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh Jika :
A={1,2,3,4,5}
B={8,9,10}
maka : S={1,2,3,4,5,8,9,10}


• Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.
Contoh soal :
Sebutkan bilangan ganjil yang ada !
Jika :
Diketahui : A= {2, 4, 6, 8}

B= {4, 6, 10}

Jawabannya adalah {} atau Ø.

Karena pada himpunan A dan B tidak terdapat bilangan ganjil.


• Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Contoh soal :
Buktikan bahwa A bagian himpunan dari B!
Jika :

Diketahui : A={2, 4, 6}
B={2, 3, 4, 5, 6}
Jawabannya: A ⊆ B= {2, 4, 6}
Kenapa {3, 5} tidak termasuk ?
Karena 3 dan 5 tidak termasuk anggota himpunan A.


• Himpunan Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B <==> A ⊆ B dan B ⊆ A

Tiga hal yang harus diperhatikan dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.
Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.
Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B dan C = C
(b) Jika A = B, maka B = A
(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C


• Himpunan Ekuivalen
Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama.

Contoh : P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q ).


• Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua

himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama .

Contoh :

P = { 1, 3, 5, 7, 9}
Q = { 2, 4, 6, 8, 10 }
perhatikan, tidak ada anggota himpunan P dan Q yang sama maka himpunan P dan Q adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi P// Q

Operasi Himpunan

Seperti bilangan, sebuah himpunan juga dapat dioperasikan dengan himpunan lain. Kalau dalam bilangan kita mengenal operasi kali, bagi, tambah, dan kurang, maka dalam himpunan kita mengenal operasi-operasi berikut:

1. Gabungan (Union)
A dan B adalah semua elemen yang ada dalam A atau dalam B atau dalam kedua-duanya, yaitu
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}


Gambar 1.1 : A ∪ B

Contoh :
S={ x|x<=10; x∈Bilangan Asli}
A = {1, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7}
A ∪ B = {1, 3, 4, 5} ∪ {2, 3, 5, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 7 }

Jadi hasil A ∪ B adalah {1, 2, 3, 4, 5, 7 }


2. Irisan (Intersection)
A dan B adalah semua elemen yang ada dalam A dan B secara bersama-sama, yaitu :
A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}


Gambar 1.2 : A ∩ B

Contoh :
S={ x|x<=10; x∈Bilangan Asli}
A = {1, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {1, 3, 4, 5} ∩ {2, 3, 5, 7} = {3, 5}

Jadi hasil A ∩ B adalah {3, 5}


3. Selisih (Relative Complement)
A dan B adalah semua anggota A yang bukan anggota B, yaitu :
A - B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}


Gambar 1.3 : A - B

Contoh :
S={ x|x<=10; x∈Bilangan Asli}
A = {1, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7}
A – B = {1, 3, 4, 5} – {2, 3, 5, 7} = {1, 4}

Jadi hasil A – B adalah {1, 4}


4. Simetris atau Beda Setangkup
A dan B adalah semua eleman yang ada dalam A atau dalam B tetapi tidak dalam kedua-duanya, yaitu :
A ⊕ B = {x | (x ∈ A dan x ∈ B) atau (x ∈ B dan x ∈ A)}


Gambar 1.4 : A ⊕ B

Contoh 2.12 :
S={ x|x<=10; x∈Bilangan Asli}
A = {1, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7}
A ⊕ B = {1, 3, 4, 5} ⊕ {2, 3, 5, 7} = {1, 2, 4, 7}

Jadi hasil A ⊕ B adalah {1, 2, 4, 7}


5. Komplemen
A adalah semua anggota himpunan semesta yang berada di luar A, yaitu
A'= {x | x ∈ A}


Gambar 1.5 : A'

Contoh :
S={ x|x<=10; x∈Bilangan Asli}
A = {1, 3, 4, 5}
A'= {2, 6, 7, 8, 9, 10}

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Operasi himpunan memiliki sifat-sifat berikut:

1. Idempoten
- A ∩ A = A
- A ∪ A = A

2. Komutatif
- A ∩ B = B ∩ A
- A ∪ B = B ∪ A

3. Asosiatif
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

4. Distributif
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

5. Sifat Komplemen
- A ∪ A'= S
- A ∩ A'= {}
- (A')' = A
- S'= {}
- {}'= S

6. Sifat Identitas
- A ∪ {} = A
- A ∩ S = A
- A ∪ S = S
- A ∩ {} = {}

7. Hukum de Morgan
- (A ∪ B)'= A' ∩ B'
- (A ∩ B)'= A' ∪ B'


Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh :
AS → kemudi mobil di kiri depan
Indonesia → kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:

(a) di Amerika Serikat,
• mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
• pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Indonesia,
• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris. (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar.

1. Hukum identitas:A ∪ ∅ = A	Dualnya:A ∩ U = A
2. Hukum null/dominasi:A ∩ ∅ = ∅	Dualnya:A ∪ U = U
3. Hukum komplemen :A ∪ A = U	Dualnya:A ∩ A= ∅
4. Hukum idempoten :A ∪ A = A	Dualnya:A ∩ A = A
5. Hukum penyerapan :A ∪ (A ∩ B) = A	Dualnya:A ∩ (A ∪ B) = A
6. Hukum komutatif :A ∪ B = B ∪ A	Dualnya:A ∩ B = B ∩ A
7. Hukum asosiatif :A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C	Dualnya:A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
8. Hukum distributif :A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)	Dualnya:A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
9. Hukum De Morgan:BA∪ = A ∩ B	Dualnya:BA∩ = A ∪ B
10. Hukum 0/1∅= U	Dualnya:U = ∅

Relasi dan Sifat Relasi Biner

Relasi Biner
Adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagianya tidak kosong.

• Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A X B.
• Notasi: R ⊆ (A X B).
• a R b adalah notasi untuk (a, b) ∈ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R
• a R b adalah notasi untuk (a, b) ∉ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
• Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh :
A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323}
A  B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }
Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu
R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi Dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi Dengan Tabel

3. Representasi Relasi Dengan Matriks
• Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.
• Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],


Yang dalam hal ini



4. Representasi Relasi Dengan Graf Berarah

Sifat-Sifat Relasi Biner
Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

1. Refleksif (reflexive)
2. Menghantar (transitive)
3. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric)

1. Refleksif (reflexive)

• Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.
• Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) ∉ R.

2. Menghantar (transitive)

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Contoh . Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
(a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:


(b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) ∉ R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) ∈ R, tetapi (4, 3) ∉ R.
(c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
(d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R.
Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

3. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric)

• Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.
• Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) ∉ R.
• Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolak-setangkup.
• Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.
  

Sumber :

• https://www.academia.edu/6474950/Materi_Matematika_Diskrit_Himpunan_oleh_Saluky._S.Si_M.Kom?auto=download
• https://einzebern.wordpress.com/2012/03/18/sekilas-matematika-diskret-himpunan/
• https://lintiyuni.wordpress.com/matematika-diskrit/himpunan/jenis-jenis-himpunan/